Сходимость по распределению

Если $X_{n} \longrightarrow^{d} X_{0}$ и $\mathbb {P}\left(X_{0} = c\right) = 1$ для некоторого $c \in \mathbb {R}$, то $X_{n} \longrightarrow_{p} c$.

Если функция распределения непрерывна на $\mathbb {R}$, то она равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$.

Докажите пункты (ii) и (iii) теоремы 9.1.6.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}, \mu$ — вероятностные меры на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ такие, что $\mu_{n} \longrightarrow { }^{v} \mu$. Покажите, что $\mu_{n} \longrightarrow^{d} \mu$.

Покажите, что функция $\tilde{F}(\cdot )$, определённая в (2.5), не убывает и непрерывна справа, а функция $F(x) \equiv \inf \left\{ F(r): r \geq x, r \in D\right\}$ не убывает и непрерывна слева.

Дайте ещё одно доказательство части "если" теоремы 9.2.6, используя теорему 9.2.1 и показав, что для любой $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывной и ограниченной и любой подпоследовательности $\left\{ n_{i}\right\}_{i \geq 1}$ существует дальнейшая подпоследовательность $\left\{ m_{j}\right\}_{j \geq 1}$ такая, что $a_{m_{j}} = \int f d \mu_{m_{j}} \rightarrow a = \int f d \mu$, и, следовательно, $a_{n} \equiv \int f d \mu_{n} \rightarrow a$.

Если $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ стохастически ограничена и $Y_{n} \longrightarrow_{p} 0$, то покажите, что $X_{n} Y_{n} \longrightarrow p$.

Пусть $\left\{ X_{j n}\right\}_{n \geq 1}, j = 1, \ldots , k, k \in \mathbb {N}$ — последовательности случайных величин. Пусть $X_{n} = \left(X_{1 n}, \ldots , X_{k n}\right), n \geq 1$. Покажите, что последовательность случайных векторов $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ плотна в $\mathbb {R}^{k}$ тогда и только тогда, когда для каждого $1 \leq j \leq k$ последовательность случайных величин $\left\{ X_{j n}\right\}_{n \geq 1}$ плотна в $\mathbb {R}$.

Пусть $(\mathbb {S}, d)$ — метрическое пространство.

Для любой функции распределения $F$ пусть $F^{-1}(u) \equiv \sup \left\{ t: F(t) < u\right\} , 0 < u < 1$. Покажите, что для любых $0 < u_{0} < 1$ и $t_{0}$ в $\mathbb {R}$,

Для функции $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}(k \in \mathbb {N})$ определим $D_{f} = \left\{ x \in \mathbb {R}^{k}: f \text{ разрывна в точке } x\right\}$. Покажите, что $D_{f} \in \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$.

Если $X_{n} \longrightarrow_{p} X$ и $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, то $f\left(X_{n}\right) \longrightarrow_{p} f(X)$.

(Дельта-метод). Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность случайных величин, а $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset (0, \infty )$ — последовательность констант такая, что $a_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$ и

для некоторой случайной величины $Z$ и некоторого $\theta \in \mathbb {R}$. Пусть $H: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, дифференцируемая в точке $\theta$ с производной $c$. Покажите, что

Пусть $X$ — случайная величина с $\mathbb {P}\left(X = c\right) > 0$ для некоторого $c \in \mathbb {R}$. Приведите примеры двух последовательностей $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ Y_{n}\right\}_{n \geq 1}$, удовлетворяющих $X_{n} \longrightarrow^{d} X$ и $Y_{n} \longrightarrow^{d} X$, таких, что

но

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}, \mu$ — вероятностные меры на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ такие, что

для некоторого семейства $\mathcal{F}$ функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, указанного ниже. Верно ли, что $\mu_{n} \longrightarrow { }^{d} \mu$, если

Для любых двух функций распределения $F, G$ на $\mathbb {R}$ определим

Проверьте, что $d_{L}$ задаёт метрику на множестве всех вероятностных распределений на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$. Метрика $d_{L}$ называется метрикой Леви.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}, \mu$ — вероятностные меры на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ с соответствующими функциями распределения $\left\{ F_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $F$. Покажите, что $\mu_{n} \longrightarrow^{d} \mu$ тогда и только тогда, когда

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}, \mu$ — вероятностные меры на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ такие, что $\mu_{n} \longrightarrow^{d} \mu$. Пусть $\left\{ f_{a}: a \in \mathbb {R}\right\}$ — семейство ограниченных функций из $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $\mu \left(D_{f_{a}}\right) = 0$ для всех $a \in \mathbb {R}$ и $\left|f_{a}(x)-f_{b}(x)\right| \leq h(x)\left|b-a\right|$ для всех $a, b \in \mathbb {R}$ и некоторой $h: \mathbb {R} \rightarrow (0, \infty )$ с $\mu \left(D_{h}\right) = 0$ и $\int \left|h\right| d \mu < \infty$. Покажите, что

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}, X$ — $k$-мерные случайные векторы такие, что $X_{n} \longrightarrow { }^{d} X$. Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность действительных матриц размера $r \times k$, а $\left\{ b_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathbb {R}^{r}, r \in \mathbb {N}$. Определим $Y_{n} = A_{n} X_{n}+b_{n}$ и $Z_{n} = A_{n} X_{n} X_{n}^{T}$, где $X_{n}^{T}$ обозначает транспонирование $X$. Предположим, что $A_{n} \rightarrow A$ и $b_{n} \rightarrow b$. Покажите, что

Пусть $\mu_{n}, \mu$ — вероятностные меры на счётном множестве $D \equiv \left\{ a_{j}\right\}_{j \geq 1} \subset \mathbb {R}$. Пусть $p_{n j} = \mu_{n}\left(\left\{ a_{j}\right\} \right), j \geq 1, n \geq 1$ и $p_{j} = \mu \left(\left\{ a_{j}\right\} \right)$. Покажите, что при $n \rightarrow \infty , \mu_{n} \longrightarrow^{d} \mu$ тогда и только тогда, когда для всех $j, p_{n j} \rightarrow p_{j}$, тогда и только тогда, когда $\sum_{j}\left|p_{n j}-p_{j}\right| \rightarrow 0$.

Пусть $X_{n} \sim \operatorname {Bin}\left(n, p_{n}\right), n \geq 1$. Предположим, что $n p_{n} \rightarrow \lambda , 0 < \lambda < \infty$. Покажите, что $X_{n} \rightarrow X$, где $X \sim \operatorname {Pois}\left(\lambda \right)$.

Пусть $\left\{ F_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ G_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — две последовательности функций распределения на $\mathbb {R}$ такие, что при $n \rightarrow \infty , F_{n} \longrightarrow^{d} F, G_{n} \longrightarrow^{d} G$, где $F$ и $G$ — функции распределения на $\mathbb {R}$.

Пусть $Y_{n}$ имеет дискретное равномерное распределение на целых числах $\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}$. Покажите, что $X_{n} \equiv \frac{Y_{n}}{n}$, и пусть $X \sim$ равномерная на $(0,1)$ случайная величина. Покажите, что $X_{n} \longrightarrow d^{d^{n}} X$, используя три различных метода:

Установите (5.4) в замечании 9.5.3.

Пусть $\mu$ — вероятностное распределение на $\mathbb {R}$ такое, что $\phi \left(t_{0}\right) \equiv \int e^{t\left|x\right|} d \mu (x) < \infty$ для некоторого $t_{0} > 0$. Покажите, что выполняется условие Карлемана (5.2).

(Теорема непрерывности для производящих функций моментов). Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $X$ — случайные величины такие, что для некоторого $\delta > 0$ производящие функции моментов $M_{X_{n}}(t) \equiv \mathbb {E}\left[e^{t X_{n}}\right]$ и $M_{X}(t) \equiv \mathbb {E}\left[e^{t X}\right]$ конечны для всех $\left|t\right| < \delta$. Далее, пусть $M_{X_{n}}(t) \rightarrow M_{X}(t)$ для всех $\left|t\right| < \delta$. Покажите, что $X_{n} \longrightarrow { }^{d} X$.

Пусть $X_{n} \sim \operatorname {Bin}\left(n, p_{n}\right)$. Предположим, что $n p_{n} \rightarrow \infty$. Пусть $Y_{n} = \frac{X_{n}-n p_{n}}{\sqrt{n p_{n}\left(1-p_{n}\right)}}$, $n \geq 1$. Покажите, что $Y_{n} \longrightarrow { }^{d} Y$, где $Y \sim \mathscr {N}\left(0, 1\right)$.

Используйте теорему непрерывности для производящих функций моментов, чтобы установить (6.4) и сходимость по распределению $\left\{ p_{n} Y_{n}\right\}_{n \geq 1}$ в задаче 9.24 (b)(ii).

Пусть $\left\{ X_{j}, V_{j}: j \geq 1\right\}$ — семейство случайных величин на некотором вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ такое, что $\mathbb {P}\left(V_{j} \in \mathbb {N}\right) = 1$ для всех $j, V_{j} \rightarrow \infty$ п.н. и $X_{j} \longrightarrow^{d} X$. Предположим, что для каждого $j$ случайная величина $V_{j}$ независима от последовательности $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$. Покажите, что $X_{V_{j}} \longrightarrow^{d} X$.

Пусть $X_{n} \longrightarrow^{d} X$ и $x_{n} \rightarrow x$ при $n \rightarrow \infty$. Если $\mathbb {P}\left(X = x\right) = 0$, то покажите, что $\mathbb {P}\left(X_{n} \leq x_{n}\right) \rightarrow \mathbb {P}\left(X \leq x\right)$.

(Свойство равнораспределённости Вейля). Пусть $0 < \alpha < 1$ — иррациональное число. Пусть $\mu_{n}(\cdot )$ — мера, определённая как $\mu_{n}(A) \equiv \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n-1} I_{A}(j \alpha \bmod 1), A \in \mathcal{B}([0,1])$. Покажите, что $\mu_{n} \longrightarrow^{d}$ равномерное распределение на $(0,1)$.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. положительные случайные величины такие, что $\mathbb {P}\left(X_{1} < x\right) \sim c x^{\alpha } L(x)$ при $x \downarrow 0$, где $c, \alpha$ и $L(\cdot )$ такие же, как в задаче 9.35. Пусть $X_{1 n} \equiv \min_{1 \leq i \leq n} X_{i}$. Найдите $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathbb {R}^{+}$ такие, что $Z_{n} \equiv a_{n} X_{1 n}$ сходится по распределению к невырожденному пределу, и определите распределение. Конкретизируйте это для случаев, когда $X_{1}$ имеет плотность $f_{X}(\cdot )$ такую, что