Пространства $L^p$

Используя определение и индукцию, покажите, что

для любых $n \geq 2, x_{1}, x_{2} \ldots , x_{n}$ из $(a, b)$ и $\left\{ p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}\right\}$ — распределения вероятностей.

Используйте (a), чтобы доказать неравенство Йенсена для любой ограниченной $\phi$.

Покажите, что $(\mathbb {E}\left[X\right])\left(\mathbb {E}\left[\frac{1}{X}\right]\right) \geq 1$. Что это говорит о корреляции между $X$ и $\frac{1}{X}$?

Пусть $f, g: \mathbb {R}_{+} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$ борелевски измеримы и таковы, что $f(x) g(x) \geq 1$ для всех $x$ из $\mathbb {R}_{+}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[f(X)\right] \mathbb {E}\left[g(X)\right] \geq 1$.

Найдите $(\Omega , \mathcal{F}, \mu ), 0 < p < 1, f, g \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, такие что

Докажите (1.18) для $0 < p < 1$ с $\left\| f\right\|_{p} = \int |f|^{p} d \mu$.

Покажите, что $p_{1}, p_{2} \in A_{f}, p_{1} < p_{2}$ влечёт $\left[p_{1}, p_{2}\right] \subset A_{f}$. (Указание: используйте $\int_{|f| \geq 1}|f|^{p} d \mu \leq \int_{|f| \geq 1}|f|^{p_{2}} d \mu$ и $\int_{|f| \leq 1}|f|^{p} d \mu \leq \int_{|f| \leq 1}|f|^{p_{1}} d \mu$ для любого $p_{1} < p < p_{2}$.)

Пусть $\psi (p) = \log \int |f|^{p} d \mu$ для $p \in A_{f}$. По (a) известно, что $A_{f}$ связно, т.е. является интервалом. Покажите, что $\psi$ выпукла во внутренности $A_{f}$. (Указание: используйте неравенство Гёльдера.)

Приведите примеры, показывающие, что $A_{f}$ может быть замкнутым интервалом, открытым интервалом и полуоткрытыми интервалами.

Если $0 < p_{1} < p < p_{2}$, покажите, что

(Указание: используйте (b).)

Покажите, что если $\int |f|^{r} d \mu < \infty$ для некоторого $0 < r < \infty$, то $\left\| f\right\|_{p} \rightarrow \left\| f\right\|_{\infty }$ при $p \rightarrow \infty$. (Указание: покажите сначала, что для любого $K > 0, \mu (\left|f\right| > K) > 0 \Rightarrow \varliminf_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p} \geq K$. Если $\left\| f\right\|_{\infty } < \infty$ и $\mu (\Omega ) < \infty$, используйте тот факт, что $\left\| f\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{\infty }(\mu (\Omega ))^{1 / p}$, и сведите общий случай при гипотезе $\int |f|^{p} d \mu < \infty$ для некоторого $p$ к этому случаю.)

Покажите, что $\left(\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{p_{1}}\right]\right) \leq \left(\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{p_{2}}\right]\right)^{\frac{p_{1}}{p_{2}}}$ для любых $0 < p_{1} < p_{2} < \infty$.

Покажите, что '$=$' выполняется в (a) тогда и только тогда, когда $\left|X\right|$ постоянна п.в. $(\mu )$.

Покажите, что если $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$, то $\mathbb {E}\left[\left|\log \left|X\right|\right|\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{r}\right] < \infty$ для всех $0 < r < 1$, и $\frac{1}{r} \log \left(\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{r}\right]\right) \rightarrow \mathbb {E}\left[\log \left|X\right|\right]$ при $r \rightarrow 0$.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[X \log X\right] \geq (\mathbb {E}\left[X\right])(\mathbb {E}\left[\log X\right])$.

Покажите, что $\sqrt{1+(\mathbb {E}\left[X\right])^{2}} \leq \mathbb {E}\left[\sqrt{1+X^{2}}\right] \leq 1+\mathbb {E}\left[X\right]$.

Покажите, что $\ell_{p}$ — множество всех последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}$, таких что $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{p} < \infty$.

Для следующих последовательностей найдите все $p > 0$, такие что они принадлежат $\ell_{p}$:

(i) $x_{n} \equiv \frac{1}{n}, n \geq 1$.

(ii) $x_{n} = \frac{1}{n(\log (n+1))^{2}}, n \geq 1$.

$F(x) = \Phi (x)$ — функция распределения $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$, т.е. $\Phi (x) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{-\infty }^{x} e^{-u^{2} / 2} d u$, $x \in \mathbb {R}$.

$F(x) = \frac{1}{\pi } \int_{-\infty }^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u, x \in \mathbb {R}$.

Пусть $T: V_{1} \rightarrow V_{2}$ — линейный оператор. Покажите, что если для некоторого $x_{0}$, $\left\| T x-T x_{0}\right\| \rightarrow 0$ при $x \rightarrow x_{0}$, то $T$ непрерывен на $V_{1}$ и, следовательно, ограничен.

Покажите, что если $\left(V_{2},\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ полно, то $B\left(V_{1}, V_{2}\right) \equiv \left\{ T \mid T : V_{1} \rightarrow V_{2}, T \text{ линеен и ограничен}\right\}$ полно относительно операторной нормы, определённой в (3.1).

В дальнейшем $H$ будет обозначать вещественное гильбертово пространство.

Используйте неравенство Коши-Шварца, чтобы показать, что функция $f(x, y) = \langle x, y\rangle$ непрерывна из $H \times H \rightarrow \mathbb {R}$.

(Тождество параллелограмма). Покажите, что в пространстве со скалярным произведением $(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )$ для любых $x, y \in V$

где $\left\| x\right\|^{2} = \langle x, x\rangle$.

Пусть $\left\{ Q_{n}(x)\right\}_{n \geq 0}$ определены на $\left[0,2 \pi \right]$ формулой

где $c_{n}$ таково, что

Очевидно, $Q_{n}(\cdot ) \geq 0$.

(i) Убедитесь, что для каждого $\delta > 0$,

(ii) Используя это, покажите, что если $f \in C[0,2 \pi ]$ и если

то $P_{n} \rightarrow f$ равномерно на $[0,2 \pi ]$.

Используя это, приведите доказательство полноты класса $C$ тригонометрических функций.

Покажите, что если $f \in L^{1}([0,2 \pi ])$, то $P_{n}(\cdot )$ сходится к $f$ в $L^{1}([0,2 \pi ])$.

Пусть $\left\{ \mu_{n}(\cdot )\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность вероятностных мер на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$, такая что для каждого $\delta > 0, \mu_{n}(\left\{ x:\left|x\right| \geq \delta \right\} ) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ борелевски измерима. Пусть $f_{n}(x) \equiv \int f(x-y) \mu_{n}(d y), n \geq 1$. Предполагая, что $f_{n}(\cdot )$ корректно определена и борелевски измерима, покажите, что

(i) $f(\cdot )$ непрерывна в $x_{0}$ и ограничена $\Rightarrow f_{n}\left(x_{0}\right) \rightarrow f\left(x_{0}\right)$.

(ii) $f(\cdot )$ равномерно непрерывна и ограничена на $\mathbb {R} \Rightarrow f_{n} \rightarrow f$ равномерно на $\mathbb {R}$.

(iii) $f \in L^{p}(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}), m), 0 < p < \infty , m(\cdot ) =$ мера Лебега $\Rightarrow \int \left|f_{n}-f\right|^{p} d m \rightarrow 0$.

(iv) Покажите, что (iii) $\Rightarrow (c)$.

Покажите, что $E$ — ортонормированная система.

Пусть $H_{B}$ обозначает замкнутое линейное подпространство, порождённое $B$, то есть

Покажите, что $H_{B}$ — гильбертово пространство, а $E$ — базис для $H_{B}$.

$\mu =$ равномерное распределение на $[0,1]$.

$\mu =$ стандартное нормальное распределение.

$\mu =$ экспоненциальное распределение (1).

Ортонормированный базис E, полученный таким образом, называется ортогональными многочленами относительно данной меры. (См. Szego (1939).)

Используя тот факт, что каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис, покажите, что каждый $x$ в $H$ можно единственным образом разложить как

где $y \in B$ и $z \in B^{\perp }$, и $\left\| x\right\|^{2} = \left\| y\right\|^{2}+\left\| z\right\|^{2}$.

Пусть $P_{B}: H \rightarrow B$ определён как $P_{B} x = y$, где $x$ допускает разложение (4.2) выше. Убедитесь, что $P_{B}$ — ограниченный линейный оператор из $H$ в $B$ и имеет норму 1, если $B$ содержит хотя бы один ненулевой вектор. (Оператор $P_{B}$ называется проекцией на B.)

Убедитесь, что $P_{B}\left(P_{B} x\right) = P_{B} x$ для всех $x$ в $H$.

Убедитесь, что семейство $\left\{ h_{k j}(\cdot ), k \geq 0,0 \leq j < 2^{k-1}\right\}$ — ортонормированное множество в $L^{2}([0,1], \mathcal{B}([0,1]), m)$, где $m(\cdot )$ — мера Лебега.

Убедитесь, что это семейство полно, завершив следующие два доказательства:

(i) Покажите, что для индикаторной функции $f$ диадического интервала вида $\left[\frac{k}{2^{n}}, \frac{\ell }{2^{n}}\right), k < \ell$, выполняется следующее тождество:

Теперь используйте тот факт, что линейные комбинации таких $f$ плотны в $L^{2}[0,1]$.

(ii) Для каждой $f \in L^{2}([0,1], \mathcal{B}([0,1]), m)$, такой что $f$ ортогональна функциям Хаара, $F(t) \equiv \int_{[0, t]} f d m, 0 \leq t \leq 1$ непрерывна и удовлетворяет $F\left(\frac{j}{2^{n}}\right) = 0$ для всех $0 \leq j \leq 2^{n}$, $n = 1,2, \ldots$, и, следовательно, $F \equiv 0$, откуда $f = 0$ п.н.

(i) Покажите, что для любого $x$ в $H$ и любого конечного множества $\left\{ b_{i}: 1 \leq i \leq k\right\} \subset B, k < \infty$,

(ii) Заключите, что для всех $x$ в $H, B_{x} \equiv \left\{ b:\langle x, b\rangle \neq 0, b \in B\right\}$ не более чем счётно.

Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

(i) $B$ полно, то есть $x \in H,\langle x, b\rangle = 0$ для всех $b \in B \Rightarrow x = 0$.

(ii) Для всех $x \in B$ существует не более чем счётное множество $B_{x} \equiv \left\{ b_{i}: i \geq 1\right\}$, такое что $\left\| x\right\|^{2} = \sum_{i = 1}^{\infty } \left\langle x, b_{i} \right\rangle^{2}$.

(iii) Для всех $x \in B, \epsilon > 0$, существует конечное множество $\left\{ b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{k}\right\} \subset B$, такое что

(iv) Если $B \subset B^{1}$, $B^{1}$ — ортонормированное множество в $H \Rightarrow B = B^{1}$.

$\left\{ T_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $T$ — ограниченные линейные операторы на $V_{p}, 1 \leq p \leq \infty$,

при $1 \leq p < \infty ,\left\{ T_{n}\right\}_{n \geq 1}$ сходится к $T$ слабо,

при $1 \leq p < \infty ,\left\{ T_{n}\right\}$ сходится к $T$ сильно,

при $1 \leq p < \infty ,\left\{ T_{n}\right\}$ не сходится к $T$ равномерно, показав, что для всех $n,\left\| T_{n}-T\right\| = 1$,

при $p = \infty$, покажите, что $T_{n}$ не сходится к $T$ слабо.