Предельные теоремы для зависимых процессов

Выведите (1.16) из (1.15).

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность случайных величин. Покажите, что существует последовательность целых чисел $m_{n} \in (0, \infty )$ такая, что

Покажите, что $\left\{ \tilde{Y}_{n k}, \mathcal{F}_{n k}\right\}$ из (1.18) является mda.

Покажите, что $\left\{ \tilde{Y}_{n k}, \mathcal{F}_{n k}\right\}$ из (1.18) удовлетворяет (1.2) и (1.3) с $\tau_{n}$, заменённым на $m_{n}$.

Пусть $\alpha^{*}\left(\mathcal{G}_{1}, \mathcal{G}_{2}\right)$ обозначает один из коэффициентов $\alpha \left(\mathcal{G}_{1}, \mathcal{G}_{2}\right), \beta \left(\mathcal{G}_{1}, \mathcal{G}_{2}\right)$ и $\rho \left(\mathcal{G}_{1}, \mathcal{G}_{2}\right)$.

Найдите примеры $\sigma$-алгебр $\mathcal{G}_{1}$ и $\mathcal{G}_{2}$ таких, что

Если $\mathcal{G}_{i}, \mathcal{F}_{i}, i = 1,2$ — $\sigma$-алгебры и $\left(\mathcal{G}_{1} \vee \mathcal{F}_{1}\right)$ независима от $\left(\mathcal{G}_{2} \vee \mathcal{F}_{2}\right)$, то покажите, что

Пусть $\left\{ \epsilon_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с $\epsilon_{1} \sim$ равномерным на $(-1,1)$ распределением. Пусть $X_{i} = \left(\epsilon_{i}-\epsilon_{i+1}\right) / 2, i \in \mathbb {Z}$. Покажите, что

Также найдите $\left\{ a_{n}\right\} \subset \mathbb {R}$ такие, что $a_{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \longrightarrow^{d} T$ для некоторой невырожденной случайной величины $T$. Найдите распределение $T$.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ — последовательность н.о.р. случайных величин, а $\left\{ Y_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ — последовательность стационарных случайных величин с коэффициентом сильного перемешивания $\alpha (\cdot )$ такая, что $\left\{ X_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ и $\left\{ Y_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ независимы. Пусть $Z_{i} = h\left(X_{i}, Y_{i}\right), i \in \mathbb {Z}$, где $h: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ борелевски измерима. Найдите предельное распределение $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n}\left(Z_{i}-\mathbb {E}\left[Z_{i}\right]\right)$, когда

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность стационарных случайных величин с коэффициентом сильного перемешивания $\alpha (\cdot )$. Пусть $\mathbb {E}\left[\left|X_{1}\right|^{2}\right]\log \left(1+\left|X_{1}\right|\right) < \infty$ и $\alpha (n) = O(\exp (-c n))$ при $n \rightarrow \infty$ для некоторого $c \in (0, \infty )$. Покажите, что выполняется (3.29).

Пусть $Y_{i} = x_{i} \beta +\epsilon_{i}, i \geq 1$ — модель простой линейной регрессии, где $\beta \in \mathbb {R}$ — параметр регрессии, $x_{i} \in \mathbb {R}$ неслучайна, а $\left\{ \epsilon_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — последовательность стационарных случайных величин с коэффициентом сильного перемешивания $\alpha (\cdot )$ такая, что $\mathbb {E}\left[\epsilon_{1}\right] = 0, \mathbb {E}\left[\left|\epsilon_{1}\right|^{2+\delta }\right]< \infty$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } \alpha (n)^{\delta / 2+\delta } < \infty$ для некоторого $\delta \in (0, \infty )$. Предположим, что для всех $h \in \mathbb {Z}_{+}$,

для некоторого $\gamma (h) \in \mathbb {R}$, и $n^{-1} \sum_{i = 1}^{n}\left|x_{i}\right|^{2+\delta } = O(1)$ при $n \rightarrow \infty$. Пусть $\hat{\beta }_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} / \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$ обозначает оценку наименьших квадратов $\beta$. Покажите, что

для некоторого $\sigma_{\infty }^{2} \in [0, \infty )$. Найдите $\sigma_{\infty }^{2}$. (Заметьте, что по определению, $Z \sim \mathscr {N}\left(0, 0\right)$, если $\mathbb {P}\left(Z = 0\right) = 1$.)

Пусть $Y_{i} = x_{i} \beta^{\prime }+\epsilon_{i}, i \geq 1$, где $x_{i}, \beta \in \mathbb {R}^{p},(p \in \mathbb {N})$, а $\left\{ \epsilon_{i}\right\}_{i \geq 1}$ удовлетворяет условиям задачи 16.11. Предположим, что для всех $h \in \mathbb {Z}_{+}$,

для некоторой матрицы $\Gamma (h)$ размера $p \times p$, невырожденной, и что $\max \left\{ \left\| x_{i}\right\| : 1 \leq i \leq n\right\} = O(1)$ при $n \rightarrow \infty$. Найдите предельное распределение $\sqrt{n}\left(\hat{\beta }_{n}-\beta \right)$, где $\hat{\beta }_{n} = \left(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{\prime } x_{i}\right)^{-1} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} Y_{i}, n \geq 1$.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ — стационарный авторегрессионный процесс первого порядка

где $\left|\rho \right| < 1$, а $\left\{ \epsilon_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с $\mathbb {E}\left[\epsilon_{1}\right] = 0, \mathbb {E}\left[\epsilon_{1}^{2}\right] < \infty$.