Случайные процессы

Пусть $\left\{ L_{j}\right\}_{j \geq 0}$ такие же, как в разделе 15.1.1. Покажите, что для любого $\theta \geq 0$

Пусть $L$ — показательная случайная величина. Проверьте, что для любых $x > 0$, $u > 0$

(Это называется свойством "отсутствия памяти".)

Решите прямое и обратное уравнения Колмогорова для следующих частных случаев процессов рождения и гибели:

Найдите стационарные распределения, когда они существуют, для процессов из задачи 15.3.

Рассмотрим 2 независимые очереди $\mathrm{M} / \mathrm{M} / 1$ с интенсивностью поступления $\lambda$, интенсивностью обслуживания $\mu$ (случай I), и одну очередь $\mathrm{M} / \mathrm{M} / 1$ с интенсивностью поступления $2 \lambda$ и интенсивностью обслуживания $2 \mu$ (случай II). Предположим $\lambda < \mu$. Покажите, что в стационарном состоянии среднее число в системе в случае I больше, чем в случае 2, и их отношение стремится к 2, когда $\rho = \frac{\lambda }{\mu } \uparrow 1$.

Покажите, что для любой неприводимой ЦМНВ (цепи Маркова с непрерывным временем) $\left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ с конечным пространством состояний и всеми $\lambda_{i} \in (0, \infty )$ существует единственное стационарное распределение.

Это процесс рождения и гибели такой, что $\alpha_{n} \equiv \alpha , \beta_{n} = n \beta , n \geq 0,0 < \alpha , \beta < \infty$. Покажите, что этот процесс имеет стационарное распределение, являющееся пуассоновским со средним $\rho = \frac{\lambda }{\mu }$.

Пусть $\left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Предположим, что в каждый момент события пуассоновского процесса производится эксперимент, результатом которого является один из $k$ возможных исходов $\left\{ a_{i}: 1 \leq i \leq k\right\}$ с распределением вероятностей $\left\{ p_{i}: 1 \leq i \leq k\right\}$. Пусть $X_{i}(t) =$ число исходов $a_{i}$ в $[0, t]$. Предположим, что эксперименты н.о.р. Покажите, что $\left\{ X_{i}(t): t \geq 0\right\}$ — независимые пуассоновские процессы с интенсивностью $\lambda p_{i}$ для $1 \leq i \leq k$.

Пусть $\left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda , 0 < \lambda < \infty$. Пусть $\left\{ \xi_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — последовательность н.о.р. случайных величин, независимая от $\left\{ X(t): t \geq 0\right\}$, со значениями в измеримом пространстве $(S, \mathcal{S})$. Для каждого $A \in \mathcal{S}$ определим

Пусть $B_{N}(\cdot , \omega )$ такая же, как в (2.1). Покажите, что $\left\{ B_{N}(\cdot , \omega )\right\}_{N \geq 1}$ фундаментальна в банаховом пространстве $\mathcal{C}[0,1]$ с sup-нормой, выполнив следующие шаги:

Покажите, что если $B(\cdot )$ — СБД (стандартное броуновское движение),

Используйте принцип отражения, чтобы найти $\mathbb {P}\left(M(t) \geq x, B(t) \leq y\right)$ при $x > y$, где $M(t) = \max \left\{ B(u): 0 \leq u \leq t\right\}$, а $B(\cdot )$ — СБД.

Для $a < 0 < b < c$ найдите $\mathbb {P}\left(T_{b} < T_{a} < T_{c}\right)$, где $T_{x} = \min \left\{ t: t > 0, B(t) = x\right\}$, а $B(\cdot )$ — СБД.

Пусть $B_{0}(t) \equiv B(t)-t B(1), 0 \leq t \leq 1$ (где $\left\{ B(t): t \geq 0\right\}$ — СБД) — броуновский мост. Найдите распределение $X(t) \equiv (1+t) B_{0}\left(\frac{t}{1+t}\right)$, $t \geq 0$.

Пусть $B(\cdot )$ — СБД. Пусть $M_{n} = \sup \left\{ \left|B(t)-B(n)\right|: n-1 \leq t \leq n\right\}$, $n = 1,2, \ldots$

Используйте экспоненциальный мартингал, чтобы найти $\mathbb {E}\left[e^{-\lambda T}\right]$, где $T = \inf \left\{ t : t \geq 0, B(t) \geq \alpha +\beta t\right\} , \lambda > 0, \alpha > 0, \beta > 0$, а $B(\cdot )$ — СБД.

Пусть $\left\{ Y(t):-\infty < t < \infty \right\}$ — процесс Орнштейна-Уленбека, определённый в 15.2.4. Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ борелевски измерима и $\mathbb {E}\left[\left|f(Z)\right|\right] < \infty$, где $Z \sim \mathscr {N}\left(0, 1\right)$. Вычислите $\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(Y(u)) d u$.