Условное математическое ожидание и условная вероятность

Пусть $(X, Y)$ — двумерный случайный вектор с $\mathbb {E}\left[Y^{2} \right] < \infty$. Пусть $\mathbb {H} = L^{2}\left(\mathbb {R}^{2}, \mathcal{B}(\mathbb {R}), P_{X, Y}\right)$ и $\mathbb {H}_{0} = \left\{ h(X) \mid h: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \text{ борелевски измерима и } \mathbb {E}\left[h(X)^{2}\right] < \infty \right\}$. Предположим, что для некоторой $h(X) \in \mathbb {H}_{0}$,

Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y-h(X) Z_{1}\right] = 0$ для всех $Z_{1} \in \mathbb {H}_{0}$. Покажите также, что $\mathbb {H}_{0}$ — замкнутое подпространство $\mathbb {H}$.

Пусть $(X, Y)$ — двумерный случайный вектор, имеющий абсолютно непрерывное распределение на $\left(\mathbb {R}^{2}, \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)\right)$ относительно меры Лебега с плотностью $f(x, y)$. Предположим, что $\mathbb {E}\left[\left|Y\right|\right] < \infty$. Покажите, что версия $\mathbb {E}\left[Y \mid X\right]$ задаётся как $h_{0}(X)$, где, с $f_{X}(x) = \int f(x, y) d y$,

Пусть $Z_{1}$ и $Z_{2}$ — две случайные величины на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{G}, P)$.

Докажите теорему 12.2.3.

Пусть $X_{i}$ — $k_{i}$-мерный случайный вектор, $k_{i} \in \mathbb {N}, i = 1,2$, такой, что $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы. Пусть $h: \mathbb {R}^{k_{1}+k_{2}} \rightarrow [0, \infty )$ — борелевски измеримая функция. Покажите, что

где $g(x) = \mathbb {E}\left[h\left(x, X_{2}\right)\right], x \in \mathbb {R}^{k_{1}}$. Покажите, что (4.2) также верно для действительнозначной $h$ с $\mathbb {E}\left[\left|h\left(X_{1}, X_{2}\right)\right|\right]< \infty$.

Пусть $X$ — случайная величина на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ с $\mathbb {E}\left[X^{2} \right] < \infty$, и пусть $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ — под-$\sigma$-алгебра.

Пусть $f:\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right), P\right) \rightarrow (\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ — интегрируемая функция, где

Для каждого из следующих случаев найдите версию $\mathbb {E}\left[f \mid \mathcal{G}\right]$ и обоснуйте свой ответ:

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ — вероятностное пространство и $\mathcal{G} = \left\{ \emptyset , B, B^{c}, \Omega \right\}$ для некоторого $B \in \mathcal{F}$ с $\mathbb {P}\left(B\right) \in (0,1)$. Определите $\mathbb {P}\left( A \mid \mathcal{G} \right)$ для $A \in \mathcal{F}$.

Пусть $\left\{ X_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\}$ — семейство независимых случайных величин с $\mathbb {E}\left[\left|X_{0}\right|\right]< \infty$. Покажите, что

Пусть $X$ — случайная величина на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ с $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$, и пусть $\mathcal{C}$ — $\pi$-система такая, что $\sigma \langle \mathcal{C}\rangle = \mathcal{G} \subset \mathcal{F}$. Предположим, что существует $\mathcal{G}$-измеримая функция $f: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что

Покажите, что $f = \mathbb {E}\left[X \mid \mathcal{G}\right]$.

Пусть $X$ и $Y$ — интегрируемые случайные величины на $(\Omega , \mathcal{F}, P)$, и пусть $\mathcal{C}$ — полуалгебра, $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$. Предположим, что $\int_{A} X d P \leq \int_{A} Y d P$ для всех $A \in \mathcal{C}$. Покажите, что

где $\mathcal{G} = \sigma \langle \mathcal{C}\rangle$.

Пусть $X, Y \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Если $\mathbb {E}\left[X \mid Y\right] = Y$ и $\mathbb {E}\left[Y \mid X\right] = X$, то $\mathbb {P}\left(X = Y\right) = 1$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}, X$ — семейство случайных величин на $(\Omega , \mathcal{F}, P)$, и пусть $\mathcal{G}$ — под-$\sigma$-алгебра $\mathcal{F}$. Если $\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{r}\right]= 0$ для некоторого $r \geq 1$, то

Пусть $X, Y \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$, и пусть $\mathcal{G}$ — под-$\sigma$-алгебра $\mathcal{F}$. Покажите, что

Пусть $Y$ — интегрируемая случайная величина на $(\Omega , \mathcal{F}, P)$, и пусть $\mu$ — р.у.в. на $\mathcal{F}$ относительно $\mathcal{G}$. Покажите, что $h(\omega ) \equiv \int Y\left(\omega_{1}\right) \mu \left(d \omega_{1}, \omega \right), \omega \in \Omega$ является версией $\mathbb {E}\left[Y \mid \mathcal{G}\right]$.

Завершите доказательство теоремы 12.3.1 для $\mathbb {S} = \mathbb {R}$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ — вероятностное пространство, $\mathcal{G}$ — под-$\sigma$-алгебра $\mathcal{F}$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathcal{F}$ — семейство непересекающихся множеств. Покажите, что

Пусть $\mathcal{G}_{1}, \mathcal{G}_{2}, \mathcal{G}_{3}$ — три под-$\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$. Напомним, что $\mathcal{G}_{i} \vee \mathcal{G}_{j} = \sigma \left\langle \mathcal{G}_{i} \cup \mathcal{G}_{j}\right\rangle , 1 \leq i \neq j \leq 3$. Покажите, что $\mathcal{G}_{1}$ и $\mathcal{G}_{2}$ условно независимы при заданной $\mathcal{G}_{3}$ тогда и только тогда, когда

для каждой $X \in L^{1}\left(\Omega , \mathcal{G}_{1} \vee \mathcal{G}_{3}, P\right)$.

Пусть $\mathcal{G}_{1}, \mathcal{G}_{2}, \mathcal{G}_{3}$ — под-$\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$. Покажите, что если $\mathcal{G}_{1} \vee \mathcal{G}_{3}$ независима от $\mathcal{G}_{2}$, то $\mathcal{G}_{1}$ и $\mathcal{G}_{2}$ условно независимы при заданной $\mathcal{G}_{3}$.

Приведите пример, где

Пусть $X$ — показательная (1) случайная величина. Для $t > 0$ пусть $Y_{1} = \min \left\{ X, t\right\}$ и $Y_{2} = \max \left\{ X, t\right\}$. Найдите $\mathbb {E}\left[ X \mid Y_{i} \right] i = 1,2$.

Пусть $(X, Y)$ — двумерный случайный вектор с совместной плотностью $f(x, y)$ относительно меры Лебега. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X \mid X+Y\right] = h(X+Y)$, где

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с $\mathbb {E}\left[\left|X_{1}\right|\right]< \infty$. Покажите, что для любого $n \geq 1$,

Пусть $\left\{ X_{i}: 1 \leq i \leq n+1\right\}$ — конечное семейство случайных величин такое, что при условии $X_{n+1},\left\{ X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right\}$ н.о.р. Покажите, что $\left\{ X_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}$ обмениваемо.

Пусть $\left\{ X_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}$ обмениваемы. Предположим, что $\mathbb {E}\left[\left|X_{1}\right|\right]< \infty$. Покажите, что

Пусть $\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ — случайные величины такие, что

где для каждого $i = 1,2, p_{i}(x, \cdot )$ — вероятностная переходная функция на $\mathbb {R}$, как определено в примере 6.3.8. Предположим, что $p_{i}(x, \cdot )$ допускает плотность $f_{i}(x, \cdot ) i = 1,2, \ldots$. Покажите, что

(Это означает, что если $\left\{ X_{1}, X_{2}, X_{3}\right\}$ обладает марковским свойством, то и $\left\{ X_{3}, X_{2}, X_{1}\right\}$ также им обладает.)

(Теорема Рао-Блэкуэлла). Пусть $Y \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$, а $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ — под-$\sigma$-алгебра. Покажите, что существует $Z \in L^{2}(\Omega , \mathcal{G}, P)$ такая, что $\mathbb {E}\left[Z\right] = \mathbb {E}\left[Y\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Z\right] \leq \operatorname {Var}\left[Y\right]$.

Пусть $(X, Y)$ имеет абсолютно непрерывное двумерное распределение с плотностью $f_{X, Y}(x, y)$. Покажите, что существует регулярная условная вероятность на $\sigma \langle Y\rangle$ при заданной $\sigma \langle X\rangle$, и что эта вероятностная мера индуцирует абсолютно непрерывное распределение на $\mathbb {R}$. Найдите его плотность.

Предположим, в предыдущей задаче,

где $m(\cdot ), \sigma (\cdot ), \phi (\cdot )$ и $g(\cdot )$ — все борелевски измеримые функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, причём $\sigma , \phi$ и $g$ неотрицательны, а $\phi$ и $g$ являются плотностями вероятности.

Пусть $X, Y, Z \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Предположим, что

Покажите, что $X = Y = Z$ п.н.

Пусть $X, Y \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Предположим, что $\mathbb {E}\left[\left|Y\right|^{4}\right] < \infty$. Покажите, что

Пусть $X \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$, а $\mathcal{G}$ — под-$\sigma$-алгебра $\mathcal{F}$