Центральные предельные теоремы

Покажите, что треугольный массив $\left\{ X_{n j}: 1 \leq j \leq n\right\}_{n \geq 1}$ с $X_{n j}$, как в (1.24), является нуль-массивом, т.е. удовлетворяет (1.15) тогда и только тогда, когда выполняется (1.22).

Постройте пример треугольного массива $\left\{ X_{n j}: 1 \leq j \leq r_{n}\right\}_{n \geq 1}$ независимых случайных величин такого, что для любых $1 \leq j \leq r_{n}, n \geq 1$, $\mathbb {E}\left[\left|X_{n j}\right|^{\alpha }\right]= \infty$ для всех $\alpha \in (0, \infty )$, но существуют последовательности $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset (0, \infty )$ и $\left\{ b_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathbb {R}$ такие, что

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность независимых случайных величин с

Найдите константы $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset (0, \infty )$ и $\left\{ b_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathbb {R}$ такие, что

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность независимых случайных величин такая, что для некоторого $\alpha \geq \frac{1}{2}$,

Пусть $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$ и $s_{n}^{2} = \operatorname {Var}\left[S_{n}\right]$.

Пусть $\left\{ X_{n j}: 1 \leq j \leq r_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — треугольный массив независимых случайных величин с нулевым средним, удовлетворяющих условию Линдеберга. Покажите, что

где $s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{r_{n}} \operatorname {Var}\left[X_{n j}\right], n \geq 1$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность случайных величин. Пусть $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$ и $s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} \mathbb {E}\left[X_{j}^{2} \right] < \infty , n \geq 1$. Если $s_{n}^{2} \rightarrow \infty$, то покажите, что

Для последовательности случайных величин $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и для действительного числа $r > 2$ покажите, что

где $s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} \mathbb {E}\left[X_{j}^{2}\right]$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность независимых случайных величин с нулевым средним, удовлетворяющих (5.2) при $r = 4$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность независимых случайных величин такая, что

и

Пусть $\left\{ X_{j}\right\}_{j \geq 1}$ — независимые случайные величины такие, что $X_{j}$ имеет равномерное распределение $[-j, j]$. Покажите, что условие Линдеберга-Феллера выполняется для треугольного массива $X_{n j} = X_{j} / n^{3 / 2}, 1 \leq j \leq n, n \geq 1$.

(ЦПТ для случайных сумм). Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] = 0, \mathbb {E}\left[X_{1}^{2}\right] = 1$. Пусть $\left\{ N_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность случайных величин, принимающих целые положительные значения, такая, что $\frac{N_{n}}{n} \longrightarrow { }^{p} c, 0 < c < \infty$. Покажите, что $\frac{S_{N_{n}}}{\sqrt{N_{n}}} \longrightarrow^{d} \mathscr {N}\left(0, 1\right)$.

Пусть $\left\{ N(t): t \leq 0\right\}$ — процесс восстановления, определённый в (5.1) раздела 8.5. Предположим, что $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] = \mu \in (0, \infty ), \mathbb {E}\left[X_{1}^{2} \right] < \infty$. Покажите, что

для некоторого $0 < \sigma^{2} < \infty$. Найдите $\sigma^{2}$.

Пусть $\left\{ N(t): t \geq 0\right\}$ такой же, как в предыдущей задаче. Дайте другое доказательство (5.3), используя ЦПТ для $\left\{ S_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и соотношение $\mathbb {P}\left(N(t) > n\right) = \mathbb {P}\left(S_{n} < t\right)$ для всех $t, n$.

Пусть $\left\{ X_{j}\right\}_{j \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с распределением $\mathbb {P}\left(X_{1} = 1\right) = 1 / 2 = \mathbb {P}\left(X_{1} = -1\right)$. Покажите, что существуют случайные величины $\left\{ r_{k}\right\}_{k \geq 1}$, принимающие целые положительные значения, такие, что $r_{k} \rightarrow \infty$ п.н., но $\frac{S_{r_{k}}}{\sqrt{r_{k}}}$ не сходится по распределению.

(ЦПТ для выборочных квантилей). Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины. Пусть $0 < p < 1$, и пусть $Y_{n} \equiv F_{n}^{-1}(p) = \inf \left\{ x: F_{n}(x) \geq p\right\}$, где $F_{n}(x) \equiv \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} I\left(X_{i} \leq x\right)$ — эмпирическая функция распределения, основанная на $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$. Предположим, что функция распределения $F(x) \equiv \mathbb {P}\left(X_{1} \leq x\right)$ дифференцируема в точке $F^{-1}(p) \equiv \inf \left\{ x: F(x) \geq p\right\}$ и что $\lambda_{p} \equiv F^{\prime }\left(F^{-1}(p)\right) > 0$. Тогда покажите, что $\sqrt{n}\left(Y_{n}-F^{-1}(p)\right) \longrightarrow^{d} N\left(0, \sigma^{2}\right)$, где $\sigma^{2} = p(1-p) / \lambda_{p}^{2}$.

(Задача о собирателе купонов). Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\left\{ X_{n i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины такие, что $\mathbb {P}\left(X_{n 1} = j\right) = \frac{1}{n}, 1 \leq j \leq n$. Пусть $T_{n 0} = 1, T_{n 1} = \min \left\{ j: j > 1, X_{j} \neq X_{1}\right\}$, и $T_{n(i+1)} = \min \left\{ j: j > T_{n i}, X_{j} \notin \left\{ X_{T_{n k}}: 0 \leq k \leq i\right\} \right\}$. То есть $T_{n i}$ — первый момент, когда выборка имеет $(i+1)$ различных элементов. Предположим, что $k_{n} \uparrow \infty$ так, что $\frac{k_{n}}{n} \rightarrow \theta , 0 < \theta < 1$. Покажите, что для некоторых $a_{n}, b_{n}$

Докажите теорему 11.1.6.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = 0$ и $\mathbb {E}\left[X_{n}^{2}\right] = \sigma^{2} \in (0, \infty )$. Пусть $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j}, n \geq 1$. Для каждого $k \in \mathbb {N}$ найдите предельное распределение $k$-мерного вектора (векторов).

Для любой случайной величины $X$ покажите, что $\mathbb {E}\left[X^{2} \right] < \infty$ влечёт

при $y \rightarrow \infty$. Приведите пример, показывающий, что обратное неверно.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с общим распределением

Найдите последовательности $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset (0, \infty )$ и $\left\{ b_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathbb {R}$ такие, что

где $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j}, n \geq 1$.

Покажите с помощью характеристических функций, что если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k}$ — н.о.р. случайные величины Коши $(\mu , \sigma^{2})$, то $S_{k} \equiv \sum_{i = 1}^{k} X_{i}$ имеет распределение Коши $(k \mu , k \sigma )$.

Покажите, что если случайная величина $Y_{1}$ имеет плотность $f$, как в (2.4), то выполняется (2.9) при $\alpha = 1 / 2$.

Если $\left\{ Y_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — н.о.р. Гамма $(1,2)$, то $n^{-1} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{-1} \longrightarrow { }^{d} W$, где $W$ имеет плотность $f_{W}(w) \equiv \left(\frac{2}{\pi } \frac{1}{1+w^{2}}\right) \cdot I_{(0, \infty )}(w)$.

Пусть $X$ — неотрицательная случайная величина такая, что $\mathbb {P}\left(X \leq x\right) \sim x^{\alpha } L(x)$ при $x \downarrow 0$ для некоторого $\alpha > 0$ и $L(\cdot )$, медленно меняющейся в 0. Пусть $Y = X^{-\beta }, \beta > 0$. Покажите, что

для некоторого $\gamma > 0$ и $\tilde{L}(\cdot )$, медленно меняющейся в $\infty$.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины Бета $(m, n)$. Пусть $Y_{i} = X_{i}^{-\beta }$, $\beta > 0, i \geq 1$. Покажите, что существуют последовательности $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ b_{n}\right\}_{n \geq 1}$ такие, что $\frac{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}-a_{n}}{b_{n}} \longrightarrow { }^{d}$ устойчивый закон порядка $\gamma$ для некоторого $\gamma$ из $(0,2]$.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. равномерно на $[0,1]$ распределённые случайные величины.

Докажите (4.7).

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с $\mathbb {P}\left(X_{1} = 0\right) = \mathbb {P}\left(X_{1} = 1\right) = \frac{1}{2}$. Покажите, что существует константа $C_{1} \in (0, \infty )$ такая, что

где $\Delta_{n}$ такое же, как в (4.1).

Пусть $X_{1}$ — случайная величина такая, что абсолютно непрерывная компонента $\beta F_{a c}(\cdot )$ в разложении (4.5.3) функции распределения $F$ величины $X_{1}$ ненулевая. Покажите, что $X_{1}$ удовлетворяет условию Крамера (4.13).

(Теорема Берри-Эссеена для выборочной квантили). Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — семейство н.о.р. случайных величин с функцией распределения $F(\cdot )$. Пусть $0 < p < 1$ и $Y_{n} = F_{n}^{-1}(p)$, где $F_{n}(x) = n^{-1} \sum_{i = 1}^{n} I\left(X_{1} \leq x\right), x \in \mathbb {R}$. Предположим, что $F(\cdot )$ дважды дифференцируема в окрестности $\xi_{p} \equiv F^{-1}(p)$ и $F^{\prime }\left(\xi_{p}\right) \in (0, \infty )$. Покажите, что

где $\sigma_{p} = p(1-p) /\left(F^{\prime }\left(\xi_{p}\right)\right)^{2}$.

(Оценка умеренных уклонений). Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] = \mu , \operatorname {Var}\left[X\right] = \sigma^{2} \in (0, \infty )$ и $\mathbb {E}\left[\left|X_{1}\right|^{3}\right]< \infty$. Покажите, что

Покажите, что значения функций $e_{n, 2}(x)$ из (4.14) и $\tilde{e}_{n, 2}(x)$ из (4.24) не обязательно неотрицательны для всех $x \in \mathbb {R}$.

Завершите доказательство леммы 11.4.7 (i).

При условиях леммы 11.4.7 покажите, что

Найдите функцию $\gamma (x)$ из (4.28) в каждом из следующих случаев:

Проверьте, что функции $T_{i}, i = 1,2,3$, определённые в (4.42), непрерывны на $\mathcal{C}[0,1]$.