Банк задач по математике

Задача 10.1

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ Y_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — две последовательности случайных величин такие, что для каждого $n \geq 1, X_{n}$ и $Y_{n}$ заданы на общем вероятностном пространстве, и $X_{n}$ и $Y_{n}$ независимы. Если $X_{n} \longrightarrow { }^{d} X$ и $Y_{n} \longrightarrow { }^{d} Y$ , то покажите, что

X_{n}+Y_{n} \longrightarrow ^{d} X_{0}+Y_{0}

где $X_{0} = { }^{d} X, Y_{0} = { }^{d} Y$ (ср. раздел 2.2), и $X_{0}$ и $Y_{0}$ независимы. Приведите пример, показывающий, что (5.1) неверно без гипотезы независимости.

?

Задача 10.2

Приведите пример нерешёточного дискретного распределения $F$ на $\mathbb {R}$ , сосредоточенного лишь на трёхточечном множестве.

?

Задача 10.3

Пусть $F$ — абсолютно непрерывная функция распределения на $\mathbb {R}$ с плотностью $f$ и характеристической функцией $\phi$ . Покажите, что если $f$ имеет производную $f^{(1)} \in L^{1}(\mathbb {R})$ , то

\lim _{\left|t\right| \rightarrow \infty }\left|t \phi (t)\right| = 0.

Обобщите этот результат на случай, когда $f$ $r$ раз дифференцируема и $j$ -я производная $f^{(j)}$ лежит в $L^{1}(\mathbb {R})$ для $j = 1, \ldots , r$ .

?

Задача 10.4

Пусть $F$ — функция распределения на $\mathbb {R}$ с характеристической функцией $\phi$ . Покажите, что для любых $a < b, a, b \in \mathbb {R}$ ,

\begin{align} & \lim _{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 \pi } \int _{-T}^{T}[\exp (-\iota t a)-\exp (-\iota t b)](\iota t)^{-1} \phi (t) d t \\ & = \mu _{F}((a, b))+\frac{1}{2} \mu _{F}(\left\{ a, b\right\} ), \end{align}

где $\mu_{F}$ обозначает меру Лебега-Стилтьеса, соответствующую $F$ .

?

Задача 10.5

(a)(b)

Пусть $\phi$ — характеристическая функция функции распределения $F$ , и пусть $\mu_{F}$ обозначает меру Лебега-Стилтьеса, соответствующую $F$ .

?

(a)

Покажите, что для любых $a \in \mathbb {R}$ и $T \in (0, \infty )$ ,

\begin{align} & \int _{-T}^{T} \exp (-\iota t a) \phi (t) d t \\ & = \quad 2 T \mu _{F}(\left\{ a\right\} ) \\ & \quad +\int _{\left\{ x \neq a\right\} } \frac{\exp (\iota T(x-a))-\exp (-\iota T(x-a))}{T(x-a)} \mu _{F}(d x). \end{align}

(b)

Заключите из (5.3), что для любого $a \in \mathbb {R}$ ,

F(a)-F(a-) = \lim _{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 T} \int _{-T}^{T} \exp (-\iota t a) \phi (t) d t

Задача 10.6

Пусть $F$ — функция распределения на $\mathbb {R}$ с характеристической функцией $\phi$ . Если $\left|\phi \right| \in L^{2}(\mathbb {R})$ , то покажите, что $F$ непрерывна.

?

Задача 10.7

(a)(b)

Пусть $\left\{ F_{n}\right\}_{n \geq 1}, F$ — функции распределения с характеристическими функциями $\left\{ \phi_{n}\right\}_{n \geq 1}, \phi$ соответственно. Предположим, что $F_{n} \longrightarrow { }^{d} F$ .

?

(a)

Приведите пример, показывающий, что $\phi_{n}$ может не сходиться к $\phi$ равномерно на всём $\mathbb {R}$ . (Указание: попробуйте $\phi_{n}(t) \equiv e^{-\frac{t^{2}}{n}}$ .)

(b)

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\mu$ обозначают меры Лебега-Стилтьеса, соответствующие $\left\{ F_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $F$ соответственно. Предположим, что $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\mu$ доминируются $\sigma$ -конечной мерой $\lambda$ на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ с производными Радона-Никодима $f_{n} = \frac{d \mu_{n}}{d \lambda }, n \geq 1$ и $f = \frac{d \mu }{d \lambda }$ . Если $f_{n} \longrightarrow f$ п.в. $(\lambda )$ , то покажите, что

\sup _{t \in \mathbb {R}}\left|\phi _{n}(t)-\phi (t)\right| \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty

Задача 10.8

(a)(b)(c)(d)

Пусть $G(x, a) = \left(1+a^{2}\right)^{-1}\left(1-e^{-a x}\left\{ a \sin x+\cos x\right\} \right), x \in \mathbb {R}, a \in \mathbb {R}$ .

?

(a)

Покажите, что для любых $a > 0, x_{0} \geq 0$ ,

\int _{0}^{x_{0}}(\sin x) e^{-a x} d x = G\left(a, x_{0}\right)

(Указание: рассмотрите производные левой и правой частей (5.6) по $x_{0}$ .)

(b)

Используйте теорему Фубини, чтобы обосновать, что для всех $T > 0$ ,

\int _{0}^{T} \int _{0}^{\infty }(\sin x) e^{-a x} d a d x = \int _{0}^{\infty } \int _{0}^{T}(\sin x) e^{-a x} d x d a

(c)

Используйте (5.6), (5.7) и тождество $\int_{0}^{\infty } e^{-a x} d a = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ , чтобы заключить, что для любого $T > 0$

\int _{0}^{T} \frac{\sin x}{x} d x = \int _{0}^{\infty } G(a, T) d a

(d)

Используйте теорему о мажорируемой сходимости и тот факт, что $\int_{0}^{\infty }\left(1+a^{2}\right)^{-1} d a = \frac{\pi }{2}$ , чтобы заключить, что предел правой части (5.8) существует и равен $\frac{\pi }{2}$ .

Задача 10.9

Пусть $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$ — три функции распределения на $\mathbb {R}$ . Тогда приведите пример, показывающий, что $F_{1} * F_{2} = F_{1} * F_{3}$ не влечёт $F_{1} = F_{2}$ . Здесь $F_{i} * F_{j}$ обозначает свёртку $F_{i}$ и $F_{j}, 1 \leq i, j \leq 3$ .

?

Задача 10.10

Пусть $\mu$ — вероятностная мера на $\mathbb {R}$ с характеристической функцией $\phi$ . Докажите, что

\frac{2}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty }[1-\operatorname {Re}(\phi (t))] t^{-2} d t = \int \left|x\right| \mu (d x)

?

Задача 10.11

Пусть $\phi$ — характеристическая функция случайной величины $X$ . Если $\left|\phi (t)\right| = 1 = \left|\phi (\alpha t)\right|$ для некоторого $t \neq 0$ и иррационального $\alpha \in \mathbb {R}$ , то существует $x_{0} \in \mathbb {R}$ такое, что $\mathbb {P}\left(X = x_{0}\right) = 1$ .

?

Задача 10.12

Покажите, что для любой характеристической функции $\phi ,\left\{ t \in \mathbb {R}:\left|\phi (t)\right| = 1\right\}$ является либо $\left\{ 0\right\}$ , либо счётно бесконечным, либо всем $\mathbb {R}$ .

?

Задача 10.13

(a)(b)

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность н.о.р. случайных величин с невырожденным распределением $F$ . Предположим, что существуют $a_{n} \in (0, \infty )$ и $b_{n} \in \mathbb {R}$ такие, что

a_{n}^{-1}\left(\sum _{j = 1}^{n} X_{j}-b_{n}\right) \longrightarrow ^{d} Z

для некоторой невырожденной случайной величины $Z$ .

?

(a)

Покажите, что

a_{n} \rightarrow \infty \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty

(Указание: если $a_{n} \rightarrow a \in \mathbb {R}$ , то $\mathbb {E}\left[\exp (\iota t a Z)\right] = \lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[\exp \left(\iota t\left[\sum_{j = 1}^{n} X_{j}-b_{n}\right]\right)\right] = 0$ для всех, кроме счётного числа, $t \in \mathbb {R}$ , что приводит к противоречию.)

(b)

Покажите, что при $n \rightarrow \infty$

b_{n}-b_{n-1} = o\left(a_{n}\right) \quad \text{ и } \quad \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \rightarrow 1

(Указание: используйте (a), чтобы показать, что $\left(\sum_{j = 1}^{n-1} X_{j}-b_{n}\right) / a_{n} \longrightarrow^{d} Z$ , а по (5.9), $\left(\sum_{j = 1}^{n-1} X_{j}-b_{n-1}\right) / a_{n-1} \longrightarrow { }^{d} Z$ .)

Задача 10.14

Покажите, что для каждого $T \in (0, \infty )$ существуют две различные характеристические функции $\phi_{1 T}$ и $\phi_{2 T}$ , удовлетворяющие

\phi _{1 T}(t) = \phi _{2 T}(t) \quad \text{ для всех } \quad \left|t\right| \leq T.

?

Задача 10.15

Покажите, что $\phi_{\alpha }(t) = \exp \left(-|t|^{\alpha }\right), t \in \mathbb {R}, \alpha \in (0, \infty )$ является характеристической функцией при $0 \leq \alpha \leq 2$ .

?

Задача 10.16

Докажите предложение 10.4.6.

?

Задача 10.17

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — семейство случайных величин с характеристическими функциями $\left\{ \phi_{n}\right\}_{n \geq 0}$ . Предположим, что $\int \left|\phi_{n}(t)\right| d t < \infty$ для всех $n \geq 0$ и что $\phi_{n}(\cdot ) \rightarrow \phi_{0}(\cdot )$ в $L^{1}(\mathbb {R})$ при $n \rightarrow \infty$ . Покажите, что

\sup _{B \in \mathcal{B}(\mathbb {R})}\left|\mathbb {P}\left(X_{n} \in B\right)-\mathbb {P}\left(X_{0} \in B\right)\right| \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 10.18

Пусть $\phi (\cdot )$ — характеристическая функция на $\mathbb {R}$ такая, что $\phi (t) \rightarrow 0$ при $\left|t\right| \rightarrow \infty$ . Пусть $X$ — случайная величина с характеристической функцией $\phi$ . Для каждого $n \geq 1$ пусть $X_{n} = \frac{k}{n}$ , если $\frac{k}{n} \leq X < \frac{k+1}{n}, k = 0$ , $\pm 1, \pm 2, \ldots$ . Покажите, что если $\phi_{n}(t) \equiv \mathbb {E}\left[e^{\iota t X_{n}}\right]$ , то $\phi_{n}(t) \rightarrow \phi (t)$ для каждого $t \in \mathbb {R}$ , но для каждого $n \geq 1$ ,

\sup \left\{ \left|\phi _{n}(t)-\phi (t)\right|: t \in \mathbb {R}\right\} = 1

?

Задача 10.19

(a)(b)

Пусть $\left\{ \delta_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с распределением

\mathbb {P}\left(\delta _{1} = 1\right) = \mathbb {P}\left(\delta _{1} = -1\right) = 1 / 2

Пусть $X_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\delta_{i}}{2^{i}}$ и $X = \lim_{n \rightarrow \infty } X_{n}$ .

?

(a)

Найдите характеристическую функцию $X_{n}$ .

(b)

Покажите, что характеристическая функция $X$ равна $\phi_{X}(t) \equiv \frac{\sin t}{t}$ .

Задача 10.20

Пусть $\left\{ X_{k}\right\}_{k \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с плотностью $f(x) = \frac{1}{2} e^{-\left|x\right|}, x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что $\sum_{k = 1}^{\infty } \frac{1}{k} X_{k}$ сходится п.н., и вычислите её характеристическую функцию.

?

Задача 10.21

Установите обобщение формулы (2.3) на многомерный случай.

?

Характеристические функции